Поиск первого дочернего элемента

<div id="test"><span>Текст<span>Текст 
$("test").first("span").text("Пример");
  1. Поиск элемента с идентификатором «test»
  2. Поиск первого дочернего <span>
  3. Изменение текста

Поиск дочерних элементов

<ul id="list"><li>Текст<li>Текст 
$("list").child().each("addClass", "some");
  1. Поиск элемента с идентификатором «list»
  2. Поиск всех дочерних элементов
  3. Добавление CSS-классса «some» найденным элементам

Поиск в глубину

<fieldset id="some"><form><div><span>Текст<div><span>Текст 
$("some").children("span").get(1);
  1. Поиск элемента с идентификатором «some»
  2. Поиск в глубину всех дочерних <span>
  3. Получение второго в коллекции <span>

Изменение атрибутов

<p id="addr"><span>Текст<span>Текст 
$("addr").last().attr("title", "Подсказка");
  1. Поиск элемента с идентификатором «addr»
  2. Поиск последнего дочернего элемента
  3. Изменение атрибута «title»

Изменение стилей

<fieldset><div>Текст<div id="tooltip">Текст 
$("tooltip").prev("div").css("color", "#f00");
  1. Поиск элемента с идентификатором «tooltip»
  2. Поиск предыдущего <div>
  3. Изменение цвета текста

Создание элементов

<body><div>Текст 
$(document.body).prepend("h1").text("Пример");
  1. Создание обёртки для «document.body»
  2. Добавление нового узла <h1>
  3. Добавление текста «Пример»

Использование AJAX

<pre id="license">Текст 
$("license")
    .text("Загрузка…")
        .load({url: "MIT-LICENSE.txt"});
  1. Поиск элемента с идентификатором «license»
  2. Изменение «Текст» на «Загрузка…»
  3. Загрузка текста лицензии из  файла с помощью AJAX-запроса
Текст

Об остальных возможностях и методах JavaScript фреймворка «js-core» и способах работы с ними можно узнать из документации.